피타고라스수와 2 가지 페르마정리 증명
X^n+Y^n=Z^n
n 이 4 이상 짝수일 때, 위 식에 자연수 해가 없음을 페르마가 이미 증명하였음으로,
n 이 홀수로서 소수일 때, 자연수 해가 없음을 증명하면 됨.
Y+A=X+B=Z
위 식에서 (X,Y,Z) 와 (A,B) 는 양의 실수로 한정됨으로, 0 또는 허수나 음의 실수는 될 수 없음.
X-A=Y-B=Z-A-B=X+Y-Z>0
G=(X-A)/(AB)^(1/n)=(Y-B)/(AB)^(1/n)=(Z-A-B)/(AB)^(1/n)=(X+Y-Z)/(AB)^(1/n)
X=G(AB)^(1/n)+A, Y=G(AB)^(1/n)+B, Z=G(AB)^(1/n)+A+B
{G(AB)^(1/n)+A}^n+{G(AB)^(1/n)+B}^n={G(AB)^(1/n)+A+B}^n
n=1 일 때 G=0, n=2 일 때 G=2^(1/2) 이 되고, n>2 일 때 G 는 (A,B) 함수인 양의 실수임.
X=(2AB)^(1/2)+A, Y=(2AB)^(1/2)+B, Z=(2AB)^(1/2)+A+B
위 식의 모든 자연수 (A,B) 에서 (X,Y,Z) 는 모두 무리수가 되거나 모든 피타고라스수를 나타냄.
그리고 상기 식을 아래와 같이 변경하여 볼 수도 있음.
AB=2k^2, B=2k^2/A, k=hA, B=2Ah^2
X=A(2h+1), Y=2Ah(h+1), Z=A(2h^2+2h+1)
자연수 (A,h) 에서 XY=2A^2h(2h+1)(h+1) 가 거듭제곱이 될 수 없음을 명시함으로서,
n 이 4 이상 짝수일 때, 자연수 해가 없음을 증명하고 있음.
* * * * * 페르마정리 증명 제 1 방법 * * * * *
모든 자연수 (A,B) 에서 G(AB)^(1/n) 이 무리수로 되어, (X,Y,Z) 가 모두 무리수임을 증명함.
X=G(AB)^(1/n)+A, Y=G(AB)^(1/n)+B, Z=G(AB)^(1/n)+A+B
{G(AB)^(1/n)+A}^n+{G(AB)^(1/n)+B}^n={G(AB)^(1/n)+A+B}^n
상기 식에서 A=B 일 때,
G(A)^(2/n)=[2^{(n-1)/n}+…+2^(2/n)+2^(1/n)]A 가 됨.
위 식을 감안하여 아래 식을 새로 만들었으며, 이 식은 상수 [2^{(n-1)/n}+…+2^(2/n)+2^(1/n)] 을
가지고 있음으로, 모든 자연수 (A,B) 에서 항상 무리수임이 자명함.
새로 만든 [2^{(n-1)/n}+…+2^(2/n)+2^(1/n)][{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)]/2 로
G(AB)^(1/n) 을 나누고 곱하면 다음과 같은 식이 유도되며, A=B 일 때 q 는 1 이 되어야만 함.
q=2(X+Y-Z)/[2^{(n-1)/n}+…+2^(2/n)+2^(1/n)][{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)]
G(AB)^(1/n)=q[2^{(n-1)/n}+…+2^(2/n)+2^(1/n)][{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)]/2
모든 자연수 (A,B) 에서 G(AB)^(1/n) 은 항상 무리수가 될 수밖에 없음.
만약 G(AB)^(1/n)=(X+Y-Z) 를 자연수로 가정하면,
q=2(X+Y-Z)/[2^{(n-1)/n}+…+2^(2/n)+2^(1/n)][{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)] 은
자연수/무리수가 될 수밖에 없고,
A=B 일 때에도 q 는 분자와 분모가 서로 다른 무리수가 됨으로서,
절대로 1 이 될 수가 없는 모순이 발생하기 때문임.
그러므로 G(AB)^(1/n) 은 항상 무리수로 되어, (X,Y,Z) 도 모두 무리수가 되는 것임. 제1방법 끝.
* * * * * 페르마정리 증명 제 2 방법 * * * * *
X^n+Y^n=Z^n
상기 식을 아래와 같이 변형함.
{X^(n/2)}^2+{Y^(n/2)}^2={Z^(n/2)}^2
지수=2 일 때, {X^(n/2),Y^(n/2),Z^(n/2)} 은 (a,b) 로 다음과 같이 나타낼 수 있음.
a=Z^(n/2)-Y^(n/2), b=Z^(n/2)-X^(n/2)
X^(n/2)=(2ab)^(1/2)+a, Y^(n/2)=(2ab)^(1/2)+b, Z^(n/2)=(2ab)^(1/2)+a+b
n 이 소수일 때, 아래와 같이 ab 는 서로소인 자연수 (X,Y,Z) 에서 항상 무리수가 됨.
ab=Z^n-(YZ)^(n/2)-(XZ)^(n/2)+(XY)^(n/2)
X^(n/2) 과 Y^(n/2) 을 곱하여 아래와 같이 정리함.
(XY)^n=2a^3b+2ab^3+13(ab)^2+6ab(a+b)(2ab)^(1/2)
만약 (X,Y,Z) 를 자연수로 가정하면, 좌변인 (XY)^n 은 자연수가 되고,
우변인 2a^3b+2ab^3+13(ab)^2+6ab(a+b)(2ab)^(1/2) 은 무리수가 되는 모순이 발생함.
그러므로 (X,Y,Z) 는 무리수가 되어야만 함. 제2방법 끝.
06/10/01 09:00
|
|